5. 정수론: 서로소와 합동식 (Number Theory: Congruent and Relatively Prime)
서로소
gcd(x,y)=1이면, x와 y는 서로소relatively prime이다.
합동식Congruent Expression
정수 x,y의 차가 n의 배수인 경우, 법Modular n에 대해, 정수 x,y가 합동Congruent이라 하고 아래와 같이 나타낸다.
x \equiv y (\mod n)
예를들어 10\equiv 1 (\mod 3), 5\equiv 9 (\mod 4)이다.
합동식의 곱셈의 역원
어떤 합동식 (예, 3x \equiv 7 (\mod 4))에 대하여, 올바른 x를 합동식의 해라 하는데, 특히 xx^{-1} \equiv 1 (\mod n꼴의 합동식에서, x^{-1}을 합동식의 곱셈의 역원Moular Multiplcative Inverse이라 한다.
\text{ex) } 3\cdot2 \equiv 1 ( \mod 5)
x=3, x^{-1}=2이다.
확장된 유클리드 호제법Extended Euclidean Algorithm
확장된 유클리드 호제법을 이용하여 합동식의 곱셈의 역원을 구할 수 있다.
xx^{-1} \equiv 1 (\mod n)일 때, x,n의 최대공약수를 구하면 된다.
합동식의 성질
\text{rem}(b, n) \equiv b (\mod n)
b를 n으로 나눈 나머지는 b-q\cdot n이다.
b-q\cdot n \equiv b (\mod n)이므로 n|-q\cdot n이 된다.
a+k\equiv b+k (\mod n)
a+k와 b-k의 차는 a,b의 차와 변하지 않으므로, a,b에 정수 k를 더해도 여전히 합동이다.
a\cdot k \equiv b \cdot k (\mod n)
ka - kb도 여전히 n의 배수이므로 합동이다.
(a1, b1), (a2, b2)가 각각 n에 대해 합동일 때,
a1\mp a2 \equiv b1 \mp b2 (\mod n)
a1\cdot a2 \equiv b1\cdot b2 (\mod n)
a^k \equiv b^k (\mod n)
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