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14. 선형 변환 (Linear Transformation)

14. 선형 변환 (Linear Transformation)

2020.12.07
$V$와 $W$가 벡터공간이고, $u, v$가 $V$에 속하며 $\alpha$가 실수일 경우, $V$로부터 $W$로 가는 함수 $L$이 다음 2가지 공리를 만족할 때, 선형 변환Linear Transformation 또는 선형 사상Linear Mapping이라 한다. $$L: V\rightarrow W$$ $L(u+v) = L(u)+L(v)$ $L(\alpha u) = \alpha L(u)$ 특히, $V=W$일 경우에는 $L$을 $V$상에서의 선형 연산자Linear Operation라고 한다. 함수의 정의 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 관계의 부분집합으로써, 집합 $X$에 있는 모든 원소 $x$가 집합 $Y$에 있는 원소 중 한 개와 관계가 있을 경우 $f$를 함수라고 하며, 다음과 같이 나타낸다. $..
13. 벡터의 외적 (Cross Product of Vector)

13. 벡터의 외적 (Cross Product of Vector)

2020.12.06
$R^3$상의 두 벡터 $u, v$의 다음과 같은 벡터 곱을 외적이라고 한다. $$ u\times v = (||u||||v||\sin \theta)e$$ 이때, $\theta$는 $0\leq \theta \leq \pi$인 두 벡터 사이의 각이고, 벡터 $e$는 $u, v$에 의해 생성된 평면과 수직인 단위벡터이다. 벡터의 외적은 $u, v$와 수직인 벡터로 나타내어지는데, 이때 해당 벡터의 크기는 아래와 같다. $$ ||u\times v|| = ||u||||v||\sin\theta$$ 이는 벡터 $u, v$가 이루는 평행사변형의 면적에 해당한다. 외적 $$ u = \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3 \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\e..
12. 벡터의 내적 (Dot Product of Vector)

12. 벡터의 내적 (Dot Product of Vector)

2020.11.29
$u, v$가 $R^n$상의 벡터로, 다음과 같이 정의될 때 $$u = \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n \end{bmatrix} $$ $u, v$ 두 벡터의 내적Inner Product, Dot Product은 $u\cdot v$로 나타내고, 다음과 같이 정의된다. $$u\cdot v = \begin{bmatrix}u_1&u_2&\cdots &u_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots \\v_n \end{bmatrix} = \sum^n_{i=1}u_iv_i $$ 공간 벡터의 내적 어떤 벡터 $i,j$를 기저로 하는 공간에서,..
11. 고유값과 고유벡터 (Eigen Value and Eigen Vector)

11. 고유값과 고유벡터 (Eigen Value and Eigen Vector)

2020.11.29
행렬 $A$가 $n\times n$ 행렬이고, $I$가 항등 행렬일 때, $Ax = \lambda x$인 선형 시스템에서 $x\neq 0$인 해가 존재하기 위한 필요충분조건은 $|A-\lambda I| = 0$이다. ($x$는 $n \times 1$ 벡터, $\lambda$는 상수) 행렬 $A$에 대해, $$\det(A-\lambda I ) = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \end{vmatrix}$$ 를 행렬 $A..
10. 벡터 공간 (Vector Space)

10. 벡터 공간 (Vector Space)

2020.11.28
벡터 공간은 실벡터 공간Real Vector Space과 복소벡터 공간Complex Vector Space으로 나뉘어진다. 복소수Complex Number 복소수는 실수와 허수Imaginary Number의 합으로 구성되는 수를 의미한다. 허수 $i$는 다음과 같다. $$i^2 = -1$$ 복소수 $z$는 실수 $x,y$의 조합으로 다음과 같이 나타낸다. $$ z = x+yi$$ 복소수 연산의 벡터 표현 복소수 연산은 실수 축과 허수 축으로 구성된 벡터 공간 위에서, 벡터의 연산으로 나타내어질 수 있다. 복소 공간에서 복소수 표현 복소수 $z = x + yi$는 복소 공간에서, 벡터의 크기 $r$과 벡터가 실수 축과 이루는 각도 $\theta$로 나타낼 수도 있다. $$ r = \sqrt{x^2+y^2}..
9. 벡터 (Vector)

9. 벡터 (Vector)

2020.11.28
압력, 속력, 질량 등은 하나의 실수 값으로 그 크기나 양을 정의할 수 있다. 이러한 실수 값을 스칼라Scalar라고 한다. 반면, 하나의 수만으로 나타낼 수 없는 좌표, 속도, 힘 등은 크기 뿐만 아니라 방향과 같은 정보도 포함된 값을 가지는데, 이러한 값을 벡터Vector라 한다. 벡터가 시작하는 점을 시점initial point, tail, 끝나는 점을 종점terminal point, head이라고 한다. 점 $P$에서 $Q$로 향하는 벡터는 $\overrightarrow{PQ} = u$와 같이 나타낸다. 벡터의 동치Equivalent 두 벡터 $\overrightarrow{PQ}$와 $\overrightarrow{RS}$의 크기와 방향이 같으면 두 벡터가 동치라 한다. 벡터의 시점과 종점의 위치와..
8. LU 분해 (LU Decomposition)

8. LU 분해 (LU Decomposition)

2020.10.19
LU 분해LU Decomposition LU 분해는, $m\times m$행렬을 같은 크기의 상삼각행렬 U와, 하삼각행렬 L로 분해하는 것을 말한다. LU 분해는 행렬의 기본 연산 중, 행 교환 없이 행사다리꼴행렬로 변환 가능한 행렬에 대해 수행할 수 있다. LU 분해 방법은, 예제를 직접 분해하며 배워보자. $$A = \begin{bmatrix} 2&1&1\\ 4&-6&0\\ -2&7&2\end{bmatrix} $$ 위 행렬 $A$를 $LU$분해 할 것이다. 항등행렬 $I$를 준비해놓고, 우리가 수행한 연산을 계속 기록해주기만 하면 된다. $$ I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A = \begin{bmatrix}2&1&1\\ 4&-6&0\\ -2&7..
7. 역행렬과 크래머의 규칙을 이용한 선형 시스템의 해 (Cramer's Rule)

7. 역행렬과 크래머의 규칙을 이용한 선형 시스템의 해 (Cramer's Rule)

2020.10.05
역행렬을 이용해 선형 시스템의 해 구하기 $Ax=b$가 $n$개의 변수에 대한 $n$개의 방정식으로 이루어진 선형 시스템이고, 행렬 $A$가 가역적이라면 선형시스템은 유일한 해 $x=A^{-1}b$를 갖는다. 예시) $$ \begin{align*} x+2y+3z &=1\\ x+3y+6z&=3\\ 2x+6y+13z&=5 \end{align*}$$ 위 선형 시스템은 다음과 같이 나타내어진다. $$A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 1&3&6\\ 2&6&13 \end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 1\\3\\5 \end{bmatrix} $$ 이 시스템의 해는 다음과 같다. $$ \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = A^{-1}b = \beg..
6. 역행렬 (Inverse Matrix)

6. 역행렬 (Inverse Matrix)

2020.10.05
역행렬Inverse Matrix과 가역성invertile 정사각행렬 $A$에 대해, $AB = BA = I$가 성립하는 유일한 행렬 $B$를 $A$의 역행렬이라 하고, $A^{-1}$과 같이 나타낸다. 이때, $I$는 단위행렬로, 주대각원소가 모두 1이고, 나머지 원소는 모두 0인 행렬을 의미한다. $$ I_3 = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} $$ 역행렬이 존재하는 경우 행렬 $A$를 가역적non-singular이라하고, 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬, 존재하지 않는 행렬을 특이행렬이라 한다. 정칙행렬을 행렬식이 0이 아닌 값을 갖고, 특이행렬은 행렬식이 0인 특징이 있다. 2차 역행렬 공식 $2\times 2$행렬 $A$의 역행렬은 다음 공..
5. 행렬식과 여인수 (Determinant and Cofactor)

5. 행렬식과 여인수 (Determinant and Cofactor)

2020.10.04
행렬식Determinant이란, 정사각행렬을 하나의 스칼라 값으로 대응시키는 함수로, 행렬의 가역성을 판별해준다. 행렬식은 미지수의 수와 식의 수가 같은 연립일차방정식의 근이 유일하게 존재하는지 결정(determine)하는데 중요한 역할을 한다. 행렬 A에 대한 행렬식은 $\det (A)$나 $\mid A \mid$로 나타낸다. 행과 열의 갯수가 각각 1, 2인 정사각행렬의 행렬식은 다음과 같다. $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix}\\ \mid A \mid = a_{11}\\ \\ B = \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{bmatrix}\\ \mid B \mid = b_{11}b_{22} - b_{12}b..
4. 행렬의 계수와 기저, 차원 (Rank of Matrix, Basis, Dimension)

4. 행렬의 계수와 기저, 차원 (Rank of Matrix, Basis, Dimension)

2020.10.04
어떤 행렬을 행사다리꼴행렬Row Echelon Form로 만들었을 때, 행 전체가 0이 아닌 행의 갯수는 수학적으로 중요한 의미를 가진다. 이 수를 행렬의 계수Rank라 한다. $$ A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 0&4&5\\ 0&0&6\\ 0&0&0 \end{bmatrix} $$ 예를들어, 위 행렬 $A$의 계수는 3이다. 행렬의 계수는 행렬이 가지는 선형독립/종속의 성질과 관련이 있다. 아래 행렬 $B$를 보자. $$ B = \begin{bmatrix} 1&-1&3\\ 2&-2&6\\ -1&1&-3\end{bmatrix} $$ 얼핏 보기에는 3개의 행이 각각 다른 값을 가지고 있는 것처럼 보이지만, 사실 행 2와 행 3은 행 1에 각각 -2, -1을 곱한 값으로, 행 1에 종속되어..
3. 행렬의 연산과 다양한 특수 행렬들

3. 행렬의 연산과 다양한 특수 행렬들

2020.09.14
행렬의 곱 스칼라곱 행렬 $A$에 스칼라값 $k$를 곱하면 $k\cdot A = kA = [ka_{ij}]$로 나타내고, 스칼라곱이라 한다. 행렬 $A$의 모든 원소에 스칼라 $k$를 각각 곱한다. $$ A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{bmatrix}$$ $$ 3A = \begin{bmatrix} 3&6&9\\ 12&15&18 \end{bmatrix}$$ 행렬곱 행렬간의 곱은 곱하고자 하는 행렬 $A$의 크기가 $m\times n$, 행렬 $B$의 크기가 $n \times p$일 때 가능하다. 이때, 행렬곱의 결과 $AB$는 크기 $m\times p$인 행렬 $C$가 된다. 행렬의 곱은 아래와 같이 수행된다. 기본 행 연산Elementary Row Operation ..
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