7. 역행렬과 크래머의 규칙을 이용한 선형 시스템의 해 (Cramer's Rule)

역행렬을 이용해 선형 시스템의 해 구하기

$Ax=b$가 $n$개의 변수에 대한 $n$개의 방정식으로 이루어진 선형 시스템이고, 행렬 $A$가 가역적이라면 선형시스템은 유일한 해 $x=A^{-1}b$를 갖는다.

예시)

$$ \begin{align*} x+2y+3z &=1\\
x+3y+6z&=3\\
2x+6y+13z&=5 \end{align*}$$

위 선형 시스템은 다음과 같이 나타내어진다.

$$A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 1&3&6\\ 2&6&13 \end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 1\\3\\5 \end{bmatrix} $$

이 시스템의 해는 다음과 같다.

$$ \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 3&-8&3\\-1&7&-3\\0&-2&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\3\\5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6\\5\\-1 \end{bmatrix} $$

크래머의 규칙

$Ax = b$ 꼴로 나타내어진 선형 시스템에서, 만약 행렬 $A$가 가역적이고, $b=\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$이면, $Ax=b$의 해집합 $x$는 다음과 같다.

$$x=\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} $$

이때, 행렬 $A$의 $i$번째 열을 $b$로 대체하고 행렬식을 구한 후, $\frac{1}{\det (A)}$를 곱하면 $x_i$와 같다.

아래는 $x_1$을 구하는 예시이다.

$$x_1 = \frac{1}{\det (A)}\det \begin{bmatrix} b_1&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\
b_2&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
b_n&a_{n2}&\cdots&a_{nn} 
\end{bmatrix}$$

왜 크래머의 규칙을 쓰는가?

크래머의 규칙은 가우스-조단 방법에 비해 매우 비효율적이다. 그러나 미분 기하학에서는 매우 유용하다고 한다.