9. 벡터 (Vector)

압력, 속력, 질량 등은 하나의 실수 값으로 그 크기나 양을 정의할 수 있다. 이러한 실수 값을 스칼라^Scalar라고 한다.

반면, 하나의 수만으로 나타낼 수 없는 좌표, 속도, 힘 등은 크기 뿐만 아니라 방향과 같은 정보도 포함된 값을 가지는데, 이러한 값을 벡터^Vector라 한다.

벡터가 시작하는 점을 시점^{initial point, tail}, 끝나는 점을 종점^{terminal point, head}이라고 한다.

점 $P$에서 $Q$로 향하는 벡터는 $\overrightarrow{PQ} = u$와 같이 나타낸다.

벡터의 동치^Equivalent

서로 동치인 두 벡터

두 벡터 $\overrightarrow{PQ}$와 $\overrightarrow{RS}$의 크기와 방향이 같으면 두 벡터가 동치라 한다. 벡터의 시점과 종점의 위치와 관계없이, 크기와 방향만을 생각할 때 이를 기하 벡터^{Geometric Vector}라 부르고, 서로 동치인 기하 벡터는 같다고 볼 수 있다.

위치 벡터

v = (2,3)

어떤 원점 $ O= (0,0)$이 정의된 유클리드 공간에서, 원점에서 어떤 좌표 $(x, y)$로 향하는 벡터를 정의할 수 있다.
이 경우 $v = (x,y)$와 같이 좌표 형태로 나타낼 수 있으며, 이러한 벡터를 위치 벡터^{Position Vector}라 한다.

평면상의 벡터

2차원 상의 벡터 $u=(x, y)$는 $2\times 1$ 행렬 $u = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$로도 나타낼 수 있다.

평면 상의 어떤 벡터 $u, v$ 중 어느 하나를 이동하였을때 두 벡터가 완전히 겹쳐지면, 즉 두 벡터의 크기와 방향이 같으면 $u=v$이다.

벡터의 크기

벡터의 크기는 크기^magnitude, 길이^length, 노름^norm 등으로 불리며 $||u||$와 같이 나타낸다.
벡터의 노름은 피타고라스 정리에 따라 정의되는데, $R^2$ 공간에서 다음과 같이 정의된다. (유클리드 거리)

$$||u|| = \sqrt{a^2+b^2}$$

영 벡터^{zero vector}

영 벡터는 모든 성분이 0인 특수 벡터이다. 영 벡터는 시점과 종점이 일치한다.

단위 벡터^{unit vector}

$R^n$ 공간에서, 크기가 1인 벡터를 단위 벡터라 하며, $e$로 나타낸다. 그러므로, 어떤 벡터 $v$와 방향이 같은 단위 벡터는 $\frac{1}{||v||} v$가 된다.

단위 좌표 벡터^{unit coordinate vector}

단위 좌표 벡터 i, j

$R^2$ 공간에서, 다른 벡터들을 편리하게 나타낼 수 있도록 축을 정의하는 특별한 2개의 단위 벡터인 단위 좌표 벡터가 있다. 해당 벡터들은 $R^2$ 공간의 기저 벡터^{basis vector}이다.

벡터의 합과 차

벡터의 합의 기하학적 의미

두 벡터 $u, v$의 합은 각각의 원소를 더한 것과 같다.

$$ u = (x_u, y_u), v = (x_v, y_v)\\
u+v = (x_u+x_v, y_u+y_v) $$

벡터의 차의 기하학적 의미

벡터의 차도 비슷하게, 각각의 원소를 뺀 것과 같다.

$$ u-v = (x_u-x_v, y_u-y_v)$$

벡터의 스칼라곱

벡터에 어떤 스칼라값 $\alpha$를 곱하는 것을 스칼라곱이라 한다.
벡터의 각 원소에 $\alpha$를 곱하면 되고, 이때, 해당 벡터의 노름도 $\alpha$배 증가한다.

$$ 2u = (2x, 2y), ||2u|| = 2||u||| $$