10. 벡터 공간 (Vector Space)

벡터 공간은 실벡터 공간^{Real Vector Space}과 복소벡터 공간^{Complex Vector Space}으로 나뉘어진다.

복소수^{Complex Number}

복소수는 실수와 허수^{Imaginary Number}의 합으로 구성되는 수를 의미한다. 허수 $i$는 다음과 같다.

$$i^2 = -1$$

복소수 $z$는 실수 $x,y$의 조합으로 다음과 같이 나타낸다.

$$ z = x+yi$$

복소수 연산의 벡터 표현

복소수 연산은 실수 축과 허수 축으로 구성된 벡터 공간 위에서, 벡터의 연산으로 나타내어질 수 있다.

복소 공간에서 복소수 표현

복소수 $z = x + yi$는 복소 공간에서, 벡터의 크기 $r$과 벡터가 실수 축과 이루는 각도 $\theta$로 나타낼 수도 있다.

$$ r = \sqrt{x^2+y^2}\\
\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})\\
x+yi = re^{i\theta}$$

$$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta) $$

$$x = r\cos(\theta)\\
y = r\sin(\theta)$$

이러한 개념은 이산 푸리에 변환에서 응용된다.

벡터 공간^{Vector Space}

어떤 벡터공간 $V$의 벡터 $(v_1, v_2, \cdots, v_n)$과 스칼라값 $a_1, a_2, \cdots, a_n$에 대해, $a_1v_2 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n$으로 나타내어지는 것을 선형 결합이라 한다.

어떤 벡터 $(u, v) \in V$들의 선형 결합으로 이루어진 벡터 $w$가 $w\in V$를 만족할 때, $V$를 벡터 공간이라 한다. (즉, 어떤 벡터들로 구성되는 공간을 의미함.)

하나의 원소 0으로만 이루어진 벡터 공간은 영벡터 공간이라 한다.

부분공간^subspace

벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 다음 두 연산을 만족할 때, $W$를 $V$의 부분공간이라 한다.

1. $u\in W, v\in W$이면, $u+v\in W$
2. $u\in W$이고, $\alpha$가 스칼라값이면, $\alpha u \in W$

선형 종속, 선형 독립

벡터공간 $V$의 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 벡터들에 대해 $a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots a_nv_n = 0$을 만족하는 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라값의 집합 $a_1, a_2, \cdots, a_n$이 존재하면, 해당 벡터들은 선형 종속^{Linearly Dependent}이다.

반면, 이를 만족하는 $a$값들이 존재하지 않는다면, 벡터들이 선형 독립^{Linearly Independent}이라 한다.

혹은, $V$의 어떤 벡터 $v$가 $V$의 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있을 때, 선형 종속이다.

벡터공간의 생성^span과 기저^basis

벡터공간 $V$의 모든 벡터들을 벡터공간 $V$상의 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_n$의 선형 결합으로 표현할 수 있을 경우, 벡터공간 $V$의 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_n$이 벡터공간 $V$를 생성하고 있다고 한다.

어떤 벡터공간 $V$의 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_n$이 다음을 만족하면, 해당 벡터들이 벡터공간 $V$의 기저^basis를 형성한다고 한다.

1. $v_1, v_2, \cdots, v_n$이 선형 독립이다.
2. $v_1, v_2, \cdots, v_n$이 벡터공간 $V$를 생성한다.

예를들어, 실수공간 $R^2$의 기저 벡터는 $(0, 1)$과 $(1, 0)$이다.
다만 설정하기에 따라 $(1, 2)$와 $(2,1)$ 등, 선형 종속이 아닌 모든 벡터 쌍은 $R^2$의 기저 벡터가 될 수 있다.

$(1,0)$과 $(0,1)$ 같은 기저 벡터를 표준 기저 혹은 자연 기저라 한다.

$V$가 $R^n$상의 벡터 공간일 때, $V$의 기저가 되는 벡터의 수를 차원이라 하고 $dim(V)$로 나타낸다.