12. 벡터의 내적 (Dot Product of Vector)

$u, v$가 $R^n$상의 벡터로, 다음과 같이 정의될 때

$$u = \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n \end{bmatrix}$$

$u, v$ 두 벡터의 내적^{Inner Product, Dot Product}은 $u\cdot v$로 나타내고, 다음과 같이 정의된다.

$$u\cdot v = \begin{bmatrix}u_1&u_2&\cdots &u_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots \\v_n \end{bmatrix} = \sum^n_{i=1}u_iv_i$$

공간 벡터의 내적

어떤 벡터 $i,j$를 기저로 하는 공간에서, 표준 기저 $i,j$를 이용하여 표현된 벡터의 내적 또한 각 성분끼리의 곱의 합으로 구할 수 있다. 예를들어, $u=2i+3j, v=i+4j$일 경우, $u\cdot v = (2\cdot 1) + (3\cdot 4) = 14$이다.

벡터 $u = (u_1, u_2, u_3)$의 노름 또는 길이는 $||u|| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 }$이고, 벡터 $u$와 $v = (v_1, v_2, v_3)$ 사이의 거리는 다음과 같다.

$$||u-v|| = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2}$$

각도를 이용한 내적

두 벡터 $u, v$가 이루는 각을 $\theta (0\leq \theta \leq \pi)$라 할 때, $u,v$의 내적은 다음과 같이 정의된다.

$$u\cdot v = \begin{cases} ||u||||v|| \cos \theta & u\neq 0 \text{ and } v\neq 0\\ 0 & u = 0 \text{ or } v = 0 \end{cases}$$

따라서, $u, v$의 각이 $\theta$라면, $\cos \theta = \frac{u\cdot v}{||u|| ||v||}$이다.

내적 공간

$u, v, w$가 $R^2$나 $R^3$상의 벡터라 하고 $c$를 스칼라라 할 때, $R^2$와 $R^3$상의 내적은 다음과 같은 성질들을 갖는다. 이러한 성질을 만족하는 공간을 내적 공간이라 한다.

• $u\cdot v \geq 0$
• $u\cdot v = v \cdot u$
• $(u+v)w = uw + vw$
• $cu\cdot v = c(u\cdot v)$
• $u\cdot 0 = 0 \cdot u = 0$
• $u\cdot u = ||u||^2$

벡터의 직교^Orthogonal

$V$가 내적공간일 때, $V$상의 두 벡터 $u, v$에 대해 $u\cdot v = 0$이면, 두 벡터 $u,v$가 직교한다 혹은 수직이다 라고 한다.

$u, v$가 영벡터가 아닐 때 $u, v$가 이루는 각 $\theta$에 대해 다음이 성립한다.

• $u\cdot v = 0$이면, $\theta$는 직각
• $u\cdot v > 0$이면, $\theta$는 예각
• $u\cdot v < 0$이면, $\theta$는 둔각

$R^n$의 벡터들의 집합 $S = {v_1, v_2, \cdots, v_n}$이 다음을 만족하면 정규 직교 집합^{Orthogonormal Set}이라 한다.

• $v_i\cdot v_j = 0 (i\neq j)$
• $v_i\cdot v_i = 0$

직교하는 각 벡터는 서로 선형 독립이다.

정규직교기저

만약 $S = {v_1, v_2, \cdots, v_n}$이 $R^n$ 공간의 정규직교기저이면, $R^n$공간의 임의의 벡터 $x$는 $S$에 있는 기저들의 조합으로 다음과 같이 나타내어 진다.

$$x = c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n$$

이때, $c_i$는 다음과 같이 내적을 통해 구할 수 있다.

$$c_i = x\cdot v_i$$

정사영^{Orthogonal Projection}

두 벡터 $u, v$에 대하여, 그림과 같이 $u$위로 $v$에서 수직으로 내린 발을 $u$에 대한 $v$의 정사영이라 한다.

정사영된 벡터 $P_u(v)$는 아래와 같다.

$$P_u(v) = \frac{u\cdot v}{u\cdot u} u$$

코시-슈바르츠 부등식

두 벡터 $u, v$에서, $||u\cdot v|| \leq ||u||||v||$가 항상 성립한다.

삼각 부등식

두 벡터 $u,v$에서, $||u+v|| \leq||u||+||v||$이다.