13. 벡터의 외적 (Cross Product of Vector)

$R^3$상의 두 벡터 $u, v$의 다음과 같은 벡터 곱을 외적이라고 한다.

$$ u\times v = (||u||||v||\sin \theta)e$$

이때, $\theta$는 $0\leq \theta \leq \pi$인 두 벡터 사이의 각이고, 벡터 $e$는 $u, v$에 의해 생성된 평면과 수직인 단위벡터이다.

벡터의 외적은 $u, v$와 수직인 벡터로 나타내어지는데, 이때 해당 벡터의 크기는 아래와 같다.

$$ ||u\times v|| = ||u||||v||\sin\theta$$

이는 벡터 $u, v$가 이루는 평행사변형의 면적에 해당한다.

외적

$$ u = \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3 \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}\\
u \times v = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1) $$

벡터 $u, v, w$와 스칼라 $\alpha$에 대하여 다음과 같은 외적의 성질들이 성립한다.

• $u\times v = -(v\times u)$
• $(\alpha u) \times v = \alpha(u\times v) = u \times (\alpha v)$
• $u\times (v+w) = (u\times v) + (u\times w)$
• $(u\times v)\cdot w = u\cdot (v\times w)$
• $u\times v$는 $u, v$ 모두와 직교한다.
• $u \times v = 0$일 때, $u,v$는 평행하다. (같은 방향/반대 방향을 갖거나 하나가 영벡터)
• $u\times u = 0$
• $u\cdot (v\times w)$는 $u, v, w$에 의해 결정되는 체적이다.

행렬식

$n\times n$행렬에서 임의의 두 행 또는 열이 같으면 행렬식의 값은 0 이다. 또한, 임의의 두 행이나 열의 순서를 바꾸어 만들어진 행렬의 행렬식은 원래 행렬식에서 부호를 바꾼 값이다.