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16. 점근법 표현들 (Asymptotic Notations)

16. 점근법 표현들 (Asymptotic Notations)

2020.12.06
어떤 값이 어떤 값과 근사함을 나타내는 표현들을 알아보자. Tilde tilde는 $\sim$으로 나타낸다. 의미는 아래와 같다. $$ f(x) \sim g(x) \text{ if } \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $$ Big Oh Big Oh 표기는 $O(g(x))$와 같이 나타내며, 의미는 아래와 같다. $$f(x) = O(g(x)) \text{ if } \lim_{x\rightarrow \infty} |\frac{f(x)}{g(x)} | < \infty $$ Big Oh 표기법에서, $f(x)$는 $g(x)$보다 작거나 같다. 즉, Big Oh 표기법은 상한을 이용한다. Big Oh 표기법에 사용되는 $g(x)$는 항상 최악의 경우(값이 가장..
15. 적분의 상한과 하한(Lower/Upper Bound of Integration)

15. 적분의 상한과 하한(Lower/Upper Bound of Integration)

2020.12.06
함수 $f$를 다음과 같이 정의해보자. $$f(i) = \sqrt{i}$$ $f$는 양의 방향으로 증가하는 함수positive increasing function이다. 이런 함수에 대해, 아래가 성립한다. $$\sum_{i=1}^nf(i) \geq f(1) + \int_1^n f(x) dx $$ $$\sum_{i=1}^nf(i) \leq f(n) + \int_1^n f(x) dx$$ 이는 $\sum_{i=1}^n f(i)$의 상한Upper Bound과 하한Lower Bound을 나타낸다. 우리가 알고자 하는 것은 $\sum_{i=1}^n \sqrt{i}$이다. $$ \begin{align*} \int_1^n\sqrt{x} dx &= [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|^n_1\\ &= \f..
14. 관계와 부분 순서 (Relations and Partial Orders)

14. 관계와 부분 순서 (Relations and Partial Orders)

2020.12.06
관계 $R$은 집합 $A$와 집합 $B$의 곱집합의 부분집합이다. $$R\subseteq A\times B$$ 곱집합은 집합 $A$와 $B$의 조합으로 다음과 같이 정의된다. $$ \{a, b\}\times \{c, d\} = \{(a, c), (a, d), (b, c), (b, d) \}$$ 관계는 이 곱집합의 부분집합인데, 예를들어 집합 $A$가 학생의 집합이고, $B$가 수강 과목의 집합일 때, 백지오가 이산수학을 수강하는 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ (\text{백지오}, \text{Discrete Math}) \in R,_\text{(백지오)}R_\text{(Discrete Math)} $$ 관계 $R$이 정의하는 것은 상황에 따라 달라지는데, 수학적 표기법으로 다음과 같이 나타낼..
13. 그래프 이론과 오일러 순회, 해밀턴 경로 (Euler Tour, Hamiltonian Path)

13. 그래프 이론과 오일러 순회, 해밀턴 경로 (Euler Tour, Hamiltonian Path)

2020.12.06
오일러 경로, 오일러 순회는 연결 그래프의 모든 간선을 단 한 번씩만 방문하며, 시작과 끝이 같은 노드인 보행을 말한다. 이름을 보면 추측할 수 있다시피 레온하르트 오일러가 만들었다. 모든 노드가 짝수 차수를 갖는 연결 그래프는 오일러 경로를 갖는다. 반대로 오일러 경로가 있는 그래프는 모든 노드의 차수가 짝수인 연결 그래프이다. 증명 $W$가 $v_0 - v_1 - \cdots - v_k$로 구성된, 각 간선을 한 번씩만 방문하는 가장 긴 보행, 즉 오일러 경로라 하자. 이때, $G=(V,E)$에서 모든 노드의 차수는 짝수이다. $v_k$이후로 $W$에는 속하지 않은 다른 간선이 더 이어지는 경로가 있을 경우, 이는 $W$가 가장 긴 보행이라는 전제를 깨므로 거짓이다. $v_0 \neq v_k$라면, ..
12. 통신 네트워크 (Communication Networks)

12. 통신 네트워크 (Communication Networks)

2020.12.06
그래프 이론을 통해 통신 네트워크를 분석하는 법을 알아보자. 입력 터미널과 출력 터미널이 각각 $N$개인 네트워크를 $N\times N$ 네트워크라 한다. Diameter Switch Size Number of Swith Max Congestion Complete Binary Tree $2(1+\log_2 N)$ $3\times 3$ $2N - 1$ $N$ 2D array $2N$ $2\times 2$ $N^2$ $2$ Butterfly $2+\log_2 N$ $2\times 2$ $N(1+\log_2 N)$ $\sqrt{N}$ or $\sqrt{N/2}$ Benes Network $1+2\log_2 N$ $2\times 2$ $2N \log_2 N$ $1$ 지연Latency은 입력에서 출력으로 패킷이 ..
11. 그래프 이론과 신장 트리 (Spanning Tree)

11. 그래프 이론과 신장 트리 (Spanning Tree)

2020.12.05
보행walk이란 간선으로 연결된 노드들의 시퀀스이다. 예를들어, $v_1 - v_2 - v_3 - \cdot - v_k$는 $v_1$에서 시작하여 $v_k$로 가는 보행이다. 보행의 길이는 시작 노드부터 끝 노드까지 과정에 있는 노드의 갯수이다. 만약 보행에 포함된 노드가 모두 다른 노드일 경우, (즉, 한 번 방문한 노드는 재방문하지 않는 경우) 이는 경로path라고 한다. 만약 노드 $u$에서 $v$로 가는 보행이 존재한다면, $u$에서 $v$로 가는 경로 또한 존재한다. $u$에서 $v$로 가는 경로가 존재한다면, $u$와 $v$는 연결되었다connected고 한다. 그래프의 모든 노드가 서로 연결되었다면, 연결 그래프connected graph라 한다. 어떤 보행의 시작 노드와 끝 노드가 같다면,..
10. 매칭 알고리즘 (Matching Algorithm)

10. 매칭 알고리즘 (Matching Algorithm)

2020.10.18
매칭Matching이란, 어떤 그래프 $G=\{V, E\}$의 부 그래프 중, 모든 노드의 차수가 1인 그래프이다. 우리나라에서는 부합이라고 부르기도 한다. 예를들어, 위 그래프에서 $1, 4, 5, 2$를 뽑아내어 만든 부 그래프는 크기 2인 매칭이다. 그러나, $1,2, 4, 5,6$은 $1$이 2의 차수를 가지므로 매칭이 아니다. $G$가 $n$개의 노드를 가질 때, $n/2$의 크기의 매칭이 존재한다면 모든 노드가 매칭에 관여한 것이다. 이런 경우를 완벽 매칭perfect matching이라 한다. 매칭의 가중치 그래프의 간선에 가중치가 부여될 수 있다. 이때, 매칭의 가중치는 매칭에 포함된 간선들의 가중치의 합이다. 위 그래프에서, $m_1 = (1,3), (2,4)$ 혹은 $m_2 = (1,4..
9. 그래프 이론과 P-NP 문제 (Graph Theory and P-NP Problem)

9. 그래프 이론과 P-NP 문제 (Graph Theory and P-NP Problem)

2020.10.18
어떤 그래프 $G$는 교점node(혹은 꼭짓점vertex)의 집합 $V$와 간선edge의 집합 $E$로 정의된다. 주로, 수학계에서는 꼭짓점, 컴퓨터 공학계에서는 노드(교점)이라는 표현을 사용한다. 위 그래프는 다음과 같은 $V$와 $E$의 집합으로 나타내어 진다. $$ V = \{1,2,3,4,5,6\}\\ E = \{(1,2), (1,5), (2,3), (2,5), (3,4), (4,5), (4, 6)\}$$ 정의 $(a,b)\in E$라면, 노드 $a$와 $b$는 인접adjacent해있다. 어떤 노드 $n$에 연결된 간선의 갯수를 노드의 차수degree라고 한다. 그래프에 루프loop나 다중 간선multiple edge이 없으면, 그 그래프는 단순simple하다고 한다. 반대의 경우는 복잡compl..
8. RSA 암호화 (RSA Encryption Algorithm)

8. RSA 암호화 (RSA Encryption Algorithm)

2020.10.17
RSA 암호화는 대표적인 공개키 방식 암호화 알고리즘으로, 개발자 세 명의 이름을 따서 만들어졌다. (즉, Really Secure Algorithm 따위의 멋있는 약자가 아니라, 김이박 암호화 같은 이름이다.) RSA 암호화는 공개 키 $e, n$과, 비공개 키 $d$을 사용한다. $e$는 암호화Encryption, $d$는 복호화Decryption의 약자이다. 복호화하고자 하는 이만 비공개 키를 알고 있어도 되는 특성 때문에, $d$는 개인 키라고도 불린다. 키 만들기 먼저, 두 개의 큰 소수 $p, q$를 준비한다. 이때, 암호화할 메시지 $m$보다 $p$가 커야 한다. (보통 큰 홀수를 하나 만들어서, 2씩 더해가면서 소수를 찾는다.) $(p-1), (q-1)$과 각각 서로소인 정수 $e$를 얻는..
7. 정수론: 오일러의 피 함수과 페르마의 소정리 (Number Theory: Euler's Phi Function and Fermat's Little Theorem)

7. 정수론: 오일러의 피 함수과 페르마의 소정리 (Number Theory: Euler's Phi Function and Fermat's Little Theorem)

2020.10.17
오일러의 피 함수Euler's Totient(phi) Function 오일러의 피 함수 $\phi(n)$는 어떤 양의 정수 $n$에 대해, $0$부터 $n$까지의 정수 중 $n$과 서로소인 정수의 갯수를 나타내는 함수이다. 예를들어, $\phi(6)$은 $0~6$중 $1, 5$만이 $6$과 서로소이므로 2이다. 오일러의 정리Euler's Theorem 만약 $\text{gcd}(n,k)=1$이면, ($n,k$가 서로소이면) $k^{\phi (n)} \equiv 1 (\mod n)$이다. 예를들어, 4와 9가 서로소이므로, $4^{\phi (9)} = 4^6 = 4096\equiv 1 (\mod 9)$이다. 만약 $n,k$가 서로소이면, $k$는 $(\mod n)$에 대한 $k^{-1}$을 갖는다. 더보기..
6. 정수론: 암호화, 복호화 (Number Theory: Encryption and Decryption)

6. 정수론: 암호화, 복호화 (Number Theory: Encryption and Decryption)

2020.10.17
튜링 코드Turing Code는 앨런 튜링이 개발한, 정수론을 이용한 암호화 방법이다. "victory"라는 메세지를 암호화하는 예시를 통해 튜링 코드를 배워보자. 우리가 암호화할 메시지를 $m$, 암호화된 메시지를 $m'$, 암호화에 사용할 키 값을 $k$로 나타낼 것이다. "victory"는 정수로 22090320151825로 나타낼 수 있다. (v는 알파벳 22번째, i는 09번째... 와 같은 방식이다.) 튜링 코드 버전 1 소수 만들기 먼저 암호화할 숫자에 적절한 수를 붙여 소수로 만들어준다. 22090320151825에 13을 붙이면 소수가 된다. $$m=2209032015182513$$ 키 값 정하고 암호화하기 다음으로 암호화에 사용될 키key 값을 하나 정한다. 이 키값이 있어야만 암호화와..
5. 정수론: 서로소와 합동식 (Number Theory: Congruent and Relatively Prime)

5. 정수론: 서로소와 합동식 (Number Theory: Congruent and Relatively Prime)

2020.10.17
서로소 $\text{gcd}(x,y) = 1$이면, $x$와 $y$는 서로소relatively prime이다. 합동식Congruent Expression 정수 $x,y$의 차가 $n$의 배수인 경우, 법Modular $n$에 대해, 정수 $x,y$가 합동Congruent이라 하고 아래와 같이 나타낸다. $$ x \equiv y (\mod n)$$ 예를들어 $10\equiv 1 (\mod 3)$, $5\equiv 9 (\mod 4)$이다. 합동식의 곱셈의 역원 어떤 합동식 (예, $3x \equiv 7 (\mod 4)$)에 대하여, 올바른 $x$를 합동식의 해라 하는데, 특히 $xx^{-1} \equiv 1 (\mod n$꼴의 합동식에서, $x^{-1}$을 합동식의 곱셈의 역원Moular Multiplca..
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