15. 적분의 상한과 하한(Lower/Upper Bound of Integration)
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함수 f를 다음과 같이 정의해보자.
f(i)=√i
f는 양의 방향으로 증가하는 함수positive increasing function이다.
이런 함수에 대해, 아래가 성립한다.
n∑i=1f(i)≥f(1)+∫n1f(x)dx
n∑i=1f(i)≤f(n)+∫n1f(x)dx
이는 ∑ni=1f(i)의 상한Upper Bound과 하한Lower Bound을 나타낸다.
우리가 알고자 하는 것은 ∑ni=1√i이다.
∫n1√xdx=[23x32|n1=23(n32−1)
이므로, 우리가 찾는 값의 상한과 하한은 아래와 같다.
f(1)+23(n32−1)≤n∑i=1√i≤f(n)+23(n32−1)
23n32+13≤n∑i=1√i≤23n32+√n−23
위 식을 변형하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
13≤δ(n)≤√n−23
이제 ∑ni=1=23n32+δ(n)로 나타낼 수 있다. δ는 에러항이라 부른다. 에러항을 무시할 수 있음Ignorable을 아래와 같이 표현할 수 있다.
n∑i=1√i∼23n32
∼ 기호를 틸드tilde라고 하는데, 아래와 같이 정의된다.
f(x)∼g(x)lim
감소하는 함수
\sum^n_{i=1}\frac{1}{\sqrt{i}}
위와 같이 감소하는 함수에서도 같은 방법으로 상한과 하한을 구할 수 있다.
f(n) + \int^n_1 f(x)dx \leq \sum_{i=1}^n f(x) \leq f(1) + \int_1^n f(x)dx
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