15. 적분의 상한과 하한(Lower/Upper Bound of Integration)

함수 $f$를 다음과 같이 정의해보자.

$$f(i) = \sqrt{i}$$

$f$는 양의 방향으로 증가하는 함수^{positive increasing function}이다.

이런 함수에 대해, 아래가 성립한다.

$$\sum_{i=1}^nf(i) \geq f(1) + \int_1^n f(x) dx $$
$$\sum_{i=1}^nf(i) \leq f(n) + \int_1^n f(x) dx$$

이는 $\sum_{i=1}^n f(i)$의 상한^{Upper Bound}과 하한^{Lower Bound}을 나타낸다.

우리가 알고자 하는 것은 $\sum_{i=1}^n \sqrt{i}$이다.

$$ \begin{align*} \int_1^n\sqrt{x} dx &= [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|^n_1\\
&= \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \end{align*}$$

이므로, 우리가 찾는 값의 상한과 하한은 아래와 같다.

$$f(1)+\frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \leq \sum_{i=1}^n\sqrt{i} \leq f(n) + \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) $$

$$\frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} \leq \sum_{i=1}^n \sqrt{i} \leq \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \sqrt{n} - \frac{2}{3} $$

위 식을 변형하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ \frac{1}{3} \leq \delta (n) \leq \sqrt{n} - \frac{2}{3} $$

이제 $\sum_{i=1}^n = \frac{2}{3} n^{\frac{3}{2}} + \delta(n)$로 나타낼 수 있다. $\delta$는 에러항이라 부른다. 에러항을 무시할 수 있음^Ignorable을 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\sum_{i=1}^n \sqrt{i} \sim \frac{2}{3} n^{\frac{3}{2}} $$

$\sim$ 기호를 틸드^tilde라고 하는데, 아래와 같이 정의된다.

$$ f(x) \sim g(x)\\
\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $$

감소하는 함수

$$ \sum^n_{i=1}\frac{1}{\sqrt{i}}$$

위와 같이 감소하는 함수에서도 같은 방법으로 상한과 하한을 구할 수 있다.

$$f(n) + \int^n_1 f(x)dx \leq \sum_{i=1}^n f(x) \leq f(1) + \int_1^n f(x)dx $$