14. 선형 변환 (Linear Transformation)

$V$와 $W$가 벡터공간이고, $u, v$가 $V$에 속하며 $\alpha$가 실수일 경우, $V$로부터 $W$로 가는 함수 $L$이 다음 2가지 공리를 만족할 때, 선형 변환^{Linear Transformation} 또는 선형 사상^{Linear Mapping}이라 한다.

$$L: V\rightarrow W$$

1. $L(u+v) = L(u)+L(v)$
2. $L(\alpha u) = \alpha L(u)$

특히, $V=W$일 경우에는 $L$을 $V$상에서의 선형 연산자^{Linear Operation}라고 한다.

함수의 정의

집합 $X$에서 집합 $Y$로의 관계의 부분집합으로써, 집합 $X$에 있는 모든 원소 $x$가 집합 $Y$에 있는 원소 중 한 개와 관계가 있을 경우 $f$를 함수라고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

$$f: X\rightarrow Y$$

여기서 $X$를 함수 $f$의 정의역^domain이라 하고, $Y$를 공변역^codomain이라 한다. $x\in X, y\in Y$에 대해 $(x,y)\in f$이면 $f(x) = y$라고 표시하며, $y$를 함수 $f$에 대한 $x$의 상^image 또는 함수값이라고 한다. 이 경우 $y$의 집합을 치역^range이라고 한다.

함수 $f: A\rightarrow B$에서, $a_i, a_j \in A$에 대하여 $f(a_i) = f(a_j)$일 때 $a_i=a_j$가 되는 경우 함수 $f$를 단사함수^{injective function}라고 한다.

$B$의 모든 원소 $b$에 대하여 $f(a)=b$가 성립되는 $a\in A$가 적어도 하나 존재할 때, 함수 $f$를 전사함수^{surjective function}라고 한다.

함수 $f$가 전사함수이며 단사함수일 때, 전단사함수^{bijective function}라고 한다. 이 함수는 집합 $A$의 모든 원소들이 집합 $B$의 원소들과 하나씩 대응되기 때문에 1대1 대응함수라고도 한다.

합성함수

두 함수 $f: A\rightarrow B, g: B\rightarrow C$에 대하여, 두 함수 $f$와 $g$의 합성함수는 집합 $A$에서 $C$로의 함수인 $g\circ f: A\rightarrow C$를 의미하며 다음을 만족한다.

$$g\circ f = \{(a,c)|a\in A, b\in B, c\in C, f(a)=b, g(b)=c\}$$

커널^Kernel

$L: V\rightarrow W$가 벡터공간 $V$에서 $W$로의 선형변환이라 할 때, $\ker(L)$로 나타내는 $L$의 커널은 $L(v)=0$을 만족하는 $V$의 부분집합 요소들이다.

사영변환^{Projection Transformation}

$R^3$상의 벡터 $u$를 $R^2$인 $x-y$평면에 수직으로 사영하는 변환은 사영변환이라 한다.

표준 행렬^{Standard Matrix}

$L: R^n \rightarrow R^m$이 선형변환일 때, $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$이 $R^n$에서의 표준기저라고 하고, $A$가 $m\times n$행렬이고 $j$번째 열이 $L(e_j)$라고 하자.

만약 $x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}$가 $R^n$상의 어떤 벡터라고 하면 행렬 $A$는 $L(x) = Ax$인 성질을 가진다.

특히 $A$가 위 식을 만족하는 유일한 행렬일 때, $A$를 $L$을 나타내는 표준행렬이라 한다.

여러가지 표준 행렬

$$\begin{bmatrix} 1&0\\0&0 \end{bmatrix}$$

$x$축으로의 사영

$$\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1 \end{bmatrix}$$

$x$축으로의 반사

$$\begin{bmatrix} k&0\\0&1 \end{bmatrix}$$

수평방향으로의 축소/확대

$$\begin{bmatrix} 1&k\\0&1 \end{bmatrix}$$

수평방향으로의 층밀림