6. 역행렬 (Inverse Matrix)

역행렬^{Inverse Matrix}과 가역성^invertile

정사각행렬 $A$에 대해, $AB = BA = I$가 성립하는 유일한 행렬 $B$를 $A$의 역행렬이라 하고, $A^{-1}$과 같이 나타낸다.

이때, $I$는 단위행렬로, 주대각원소가 모두 1이고, 나머지 원소는 모두 0인 행렬을 의미한다.

$$ I_3 = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} $$

역행렬이 존재하는 경우 행렬 $A$를 가역적^non-singular이라하고, 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬, 존재하지 않는 행렬을 특이행렬이라 한다.

정칙행렬을 행렬식이 0이 아닌 값을 갖고, 특이행렬은 행렬식이 0인 특징이 있다.

2차 역행렬 공식

$2\times 2$행렬 $A$의 역행렬은 다음 공식으로 구할 수 있다.

$$ A = \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} $$

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\-c&a \end{bmatrix} $$

역행렬의 성질

정칙행렬 $A, B$에 대해 다음이 성립한다.

• $(A^{-1})-1=A$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

가우스-조단 방법으로 역행렬 구하기

$n$차 정칙행렬 $A$의 역행렬을 구하기 위해서, 우측에 행을 추가하여 단위행렬을 이어붙인 첨가행렬 형태로 만들어준다.

$$ [A|I] = \left[ \begin{matrix} 1&2&3 \\ 2&5&3 \\ 1&0&8 \end{matrix} \left| \, \begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right. \right] $$

그 다음, 행렬의 기본 연산을 이용해 왼쪽 행렬이 단위행렬이 되도록 해주면, 우측의 행렬이 역행렬이 된다.

$$ [I|A^{-1}] = \left[ \begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \left| \, \begin{matrix} -40&16&9 \\ 13&-5&-3 \\ 5&-2&-1 \end{matrix} \right. \right] $$

수반행렬^{Adiugate Matrix}을 사용하여 역행렬 구하기

행렬 $A$의 여인수를 원소로 갖는 행렬 $B=[C_{ij}]$의 전치행렬 $B^T$를 수반행렬이라 하고, $\text{Adj} (A)$와 같이 나타낸다.

행렬 $A$의 역행렬은 수반행렬에 행렬식의 역수를 곱한 것과 같다.

$$A^{-1} = \frac{1}{\mid A\mid}\text{Adj}(A) $$

역행렬과 선형 방정식

$Ax=b$가 $n$개의 변수에 대한 방정식으로 이루어진 선형 시스템이고, 행렬 $A$가 가역적이면 선형 방정식은 유일한 해 $x=A^{-1}b$를 갖는다.