5. 행렬식과 여인수 (Determinant and Cofactor)

행렬식^Determinant이란, 정사각행렬을 하나의 스칼라 값으로 대응시키는 함수로, 행렬의 가역성을 판별해준다.

행렬식은 미지수의 수와 식의 수가 같은 연립일차방정식의 근이 유일하게 존재하는지 결정(determine)하는데 중요한 역할을 한다.

행렬 A에 대한 행렬식은 $\det (A)$나 $\mid A \mid$로 나타낸다.

행과 열의 갯수가 각각 1, 2인 정사각행렬의 행렬식은 다음과 같다.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix}\\
\mid A \mid = a_{11}\\ \\
B = \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{bmatrix}\\
\mid B \mid = b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} $$

행렬식의 기하적 의미

$2 \times 2$ 행렬 $A$의 행렬식은 행렬의 열벡터 $\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}b\\d \end{bmatrix} $가 이루는 평행 사변형의 넓이와 같다.

여인수를 이용하여 행렬식 구하기

여인수는 행렬 $A$에서 어떤 $i$번째 행과 $j$번째 열을 제거하여 만들어진 소행렬 $A_{ij}$의 행렬식 $\mid A_{ij} \mid$에 소행렬의 위치에 따라 적절한 부호를 붙여 얻어진 값을 의미한다.

$A$의 행렬식를 이러한 여인수들의 선형 결합으로 구할 수 있다.

$$C_{ij} = (-1)^{i+j}\mid A_{ij} \mid $$

$n\times n$ 행렬 $A$의 행렬식은 다음과 같이 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬들의 행렬식 값의 선형 조합으로 나타낼 수 있다.

$$ \det(A) = a_{11}\det(A_{11}) - a_{12}\det(A_{12}) + \cdots + (-1)^{1+n}a_{1n}\det(A_{1n}) $$

위 공식은 모든 행에 적용할 수 있으므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align*} \det(A) &= (-1)^{i+1}a_{i1}\det(A_{i1}) + \cdots + (-1)^{i+n}a_{in}\det(A_{in}) \\
&= \sum^{n}_{j=1} (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}) \end{align*}$$

여인수 분해 재귀

여인수 분해 방법을 이용해, 재귀적으로 행렬식을 구하는 프로그램을 짤 수 있다.

def determinant(matrix):
    matrix = np.array(matrix)
    if matrix.shape[0] != matrix.shape[1]:
        raise Exception('Determinant doesn\'t exist! (Input Matrix is not Square Matrix)')
    if matrix.shape[0] == 2:
        return matrix[0][0]*matrix[1][1] - matrix[0][1]*matrix[1][0]

    sum = 0
    for i in range(0, matrix.shape[1]):
        nm = np.delete(matrix, 0, axis=0)
        sum += (-1)**(i) * matrix[0][i] * determinant(np.delete(nm, i, axis=1))
    return sum

정칙행렬^{non-singular matrix}과 특이행렬^{singular matrix}

$n\times n$ 정사각행렬의 행렬식이 0이 아닐 때 행렬을 정칙행렬이라 하고, 행렬식이 0일 때 특이행렬이라 한다.

행렬의 가역성

행렬 $A$와 $B$가 모두 $n\times n$ 행렬일 때, $AB = BA = I$($I$는 항등행렬)인 행렬 $B$가 존재하는 경우, A를 가역적(non-singlular, invertible)이라 한다. 이 경우가 성립하는 행렬 $B$를 행렬 $A$의 역행렬이라 하고 $A^{-1}=B$로 나타낸다. 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬이라 하고, 존재하지 않는 행렬을 특이행렬이라 한다.

행렬식의 성질

• 행렬에서 임의의 두 행의 값이 같으면, 행렬식은 0이 된다.
• 행렬 $A$에서 임의의 두 행(열)을 바꿔 만든 행렬 $B$에서, $\det(A) = -\det(B)$가 성립한다.
• $\det(A) = \det(A^T)$이다.
• $\det(AB) = \det(A) \times \det(B)$
• 행렬의 특정 행(열)에 어떤 값 $k$를 곱하여 구한 행렬식은 처음 행렬에 $k$를 곱한 것과 같다.
• 행렬의 한 행(열)의 값이 모두 0이면 행렬식은 0이다.
• 삼각행렬의 행렬식은 모든 주대각원소의 곱과 같다.

행렬의 기하학적 성질

어떤 도형 $S$를 행렬 $A$를 이용하여 선형 변환했을 때, 변환된 도형 $P$의 면적은 $S$의 면적에 $\det(A)$를 곱합 것과 같다. 이때, $\det(A)$의 부호를 통해 변환의 방향을 알 수 있다.

이때, 행렬식이 0인 행렬을 이용해 선형 변환을 수행하면, 아무리 복잡한 도형이라도 면적이 0인 평면으로 변환된다.

더 자세히 알아보자면, 어떤 2차원 도형을 행렬식이 0인 행렬로 변환하면 직선이 되고, 3차원 도원을 한 행이나 열이 0으로만 이루어진 행렬로 변환하면 평면이 된다.