3. 행렬의 연산과 다양한 특수 행렬들

행렬의 곱

스칼라곱

행렬 $A$에 스칼라값 $k$를 곱하면 $k\cdot A = kA = [ka_{ij}]$로 나타내고, 스칼라곱이라 한다.

행렬 $A$의 모든 원소에 스칼라 $k$를 각각 곱한다.

$$ A = \begin{bmatrix}
1&2&3\\
4&5&6
\end{bmatrix}$$

$$ 3A = \begin{bmatrix}
3&6&9\\
12&15&18
\end{bmatrix}$$

행렬곱

행렬간의 곱은 곱하고자 하는 행렬 $A$의 크기가 $m\times n$, 행렬 $B$의 크기가 $n \times p$일 때 가능하다.

이때, 행렬곱의 결과 $AB$는 크기 $m\times p$인 행렬 $C$가 된다. 행렬의 곱은 아래와 같이 수행된다.

기본 행 연산^{Elementary Row Operation}

아래 3가지 연산을 행렬의 기본 행 연산이라 한다.

• 어떤 행 2개를 서로 교환한다.
• 어떤 행에다가 0 이외의 상수를 곱한다.
• 어떤 행에다가 상수를 곱한 후, 다른 행에 더한다.

행의 동치^{Row Equivalent}

행 $r_1$이 기본 행 연산 $n$회를 거쳐 행 $r_2$와 같아지는 것을 두 행이 동치한다고 말한다.

$n\times n$ 크기의 항등행렬 $I_n$에서 한 번의 기본 행 연산을 거쳐 만들어지는 행렬을 기본행렬^{Elementary Matrix}이라고 한다.

특수 행렬들

정방행렬^{Square Matrix}

행과 열의 크기가 $n$으로 같은 행렬을 $n$차 정방행렬이라고 한다. 이때, $a_{11}, a_{22}, \cdots , a_{nn}$과 같은 성분들을 행렬의 주대각선상에 있다고 한다. 주대각선상 위의 원소들을 대각항이라 하고, 대각항들의 합을 대각합^trace이라 한다.

대각합은 아래 성질들을 갖는다.

• $\text{tr}(A)=\text{tr}(A^T)$
• $\text{tr}(cA) = c\text{tr}(A)$
• $\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)$
• $\text{tr}(A-B)=\text{tr}(A)-\text{tr}(B)$
• $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$

대각행렬^{Diagonal Matrix}

정방행렬에서, 대각항들을 제외한 모든 원소가 0인 행렬을 대각행렬이라 한다.

항등행렬^{Identity Matrix}

대각항들이 모두 1인 $n\times n$ 행렬을 항등행렬 혹은 단위행렬이라 한다. 크기가 $n\times n$인 항등행렬을 통상 $I_n$으로 나타낸다. 항등행렬의 중요한 특징은 $I_nA=AI_n$이다.

영행렬^{Zero Matrix}

모든 원소가 0인 행렬을 영행렬이라 하고, 굻은 $O$로 나타낸다.

어떤 수에 대해 $x-x=0$이 성립하듯이, 행렬도 $A-A=O$인데, 이때, $-A$를 행렬 $A$의 덧셈의 역, 혹은 덧셈에 대한 역원이라 부른다.

전치행렬^{Transpose Matrix}

어떤 행렬 $A=[a_{ij}]$에 대해, $b_{ij}=a_{ji}$가 되는 행렬 $B=[b_{ij}]$를 행렬 $A$의 전치행렬이라 하고, $A^T$와 같이 나타낸다.

대칭행렬^{Symmetric Matrix}

어떤 행렬이 $A=A^T$를 만족할 때, 행렬 $A$를 대칭행렬이라 한다.

교대행렬^{Skewed-Symmetric Matrix}

$A=-A^T$를 만족하는 정방행렬을 교대행렬이라 한다.

삼각행렬^{Triangular Matrix}

주대각선을 기준으로 위쪽, 혹은 아래쪽 원소들이 모두 0인 행렬을 삼각행렬이라 한다. 이때, 주대각선 아래가 0인 행렬은 상삼각행렬, 위가 0인 행렬은 하삼각행렬이라 한다. 아래는 상삼각행렬의 예시이다.

$$ A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 4 & 5\\
0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$$