4. 행렬의 계수와 기저, 차원 (Rank of Matrix, Basis, Dimension)
어떤 행렬을 행사다리꼴행렬Row Echelon Form로 만들었을 때, 행 전체가 0이 아닌 행의 갯수는 수학적으로 중요한 의미를 가진다. 이 수를 행렬의 계수Rank라 한다.
A=[123045006000]
예를들어, 위 행렬 A의 계수는 3이다.
행렬의 계수는 행렬이 가지는 선형독립/종속의 성질과 관련이 있다. 아래 행렬 B를 보자.
B=[1−132−26−11−3]
얼핏 보기에는 3개의 행이 각각 다른 값을 가지고 있는 것처럼 보이지만, 사실 행 2와 행 3은 행 1에 각각 -2, -1을 곱한 값으로, 행 1에 종속되어 있다. 이처럼 행이 다른 행들의 선형 조합으로 표현될 수 있는 경우, 이 관계를 선형 종속Linearly Dependent이라 한다. (1차 종속이라고도 한다.)
반대로 어떤 행이 다른 행들의 선형 조합으로 표현될 수 없는 경우, 이 행은 선형 독립Linearly Independent이라 한다.
행렬의 기본 연산을 통해 위 행렬을 행사다리꼴로 만들면 다음과 같다.
REF(B)=[1−13000000]
결국 위 행렬의 계수는, 행렬의 행의 갯수와 관계없이 1이 된다.
즉, 행렬의 계수는 행렬이 가지고 있는 선형 독립인 행들의 갯수이다.
기저Basis와 차원Dimension
직관으로 이해하기
어떤 2차원 공간 위의 한 벡터 v를 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현해보자.

2차원 공간에서 한 벡터를 표현하기 위해서는, 최소 2개의 선형 독립인 벡터가 필요하다. (v와 선형 종속인 하나의 벡터를 사용하면, 1차원 공간 상에서의 표현이 되어 버린다.)

벡터 v를 표현하기 위해, 크기가 1인 단위 벡터 x와 y를 정의했다. 벡터 v는 2x+3y로 나타낼 수 있다.

선형 독립인 벡터 x와 y의 결합으로 벡터 v를 표현했다. 그런데, 만약 벡터 x와 y가 선형 종속의 관계를 갖는다면 어떻게 될까?

위 이미지에서는, 벡터 x=2y로 x와 y가 선형 종속의 관계를 갖는다. 결국, 선형 종속인 두 벡터 x와 y를 이용해서는 2차원 공간 위의 벡터 v를 나타낼 수 없다.
기저와 차원의 이해
기저란, 어떤 벡터 공간을 선형 생성하는 선형독립인 벡터들을 말한다. 기저의 조합을 통해, 해당 기저가 생성한 벡터 공간 위의 모든 벡터(v같은)를 표현할 수 있다. 즉, 위 예시에서 기저는 벡터 x와 y를 의미한다.
차원이란, 어떤 벡터 공간을 구성하기 위해 필요한 벡터의 수이다. 즉, 어떤 공간이 갖는 기저의 갯수이다.
위 예시에서, 첫번째 경우(x와 y가 선형 독립인 경우) x와 y를 이용하여 2차원 공간 위에 있는 v를 성공적으로 표현할 수 있었다.
A=[100123]
이는 위 행렬 A에서, 행 1과 행 2를 이용해 행 3을 나타낸 것과 같다. 즉, 행렬의 계수는 해당 행렬이 만들 수 있는 벡터 공간의 차원과 같다.
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