3. 부동소수점을 활용한 실수 표현 (IEEE 754 Standard Float)

실수

• 정수는 이산적이지만, 실수는 연속적이다.
• 컴퓨터 공학에서, 실수는 Floating Point Numbers라고도 불린다.
• 아주 크거나 아주 작은 값을 가질 수 있다.
  • $4,123,122,321.2$
  • $0.0000000000002$

Scientific Notation (과학적 기수법)

실수를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$
\begin{align*}
11000.1 &= 11000.1 \times 2^0\\
&= 1100.01 \times 2^1\\
&= 110.001 \times 2^2\\
&= 11.0001 \times 2^3\\
&= 1.10001 \times 2^4\\
\end{align*}
$

정수 부분을 1만 남도록 옮긴 상태를 Scientific Notation이라 한다. Scientific Notation은 아래의 3요소를 갖는다.

• The significant digits
• The power
• The base

이때, Base는 보통 절대적이다.(우리가 알고있다.)

우리의 수 위에서 소수점의 위치는 power에 결정된다. 이것이 실수를 Floating(떠있는) Point(소수점)라고 부르는 이유다.

Floating Point

IEEE의 Float 표준을 따른다.
하나의 실수는 binary32 4-byte 크기에 저장된다.

$(-1)^s \times 1.f \times 2^{e-127}$

• s = sign (양수면 0, 음수면 1)
• e = 2의 지수, excess 127 notation을 쓴다. (0~255 사이의 e를 통해 -127~128의 표현)
• f = binary fraction, 정수부의 1을 제외하고 실수부만을 저장

$s$	$e$	$f$
1-bit	8-bits	23-bits

십진수 / IEEE 변환

1. 십진수를 이진수로 변환한다.
2. 이진수를 base 2의 Scientific Notation으로 고쳐쓴다.
3. 정수부의 1을 제외한 실수부분만 취해 $f$를 얻고 23비트 중 남는 부분은 0으로 뒤를 채운다.
4. 부호 비트인 $s$를 정한다.
5. 2의 지수에 127을 더하여 $e$를 구한다.
6. $e$를 8비트로 변환한다. (필요하면 뒤에 0을 붙인다.)
7. $s$, $e$, $f$를 IEEE format에 맞게 정리한다.

IEEE / 십진수 변환

1. 이진수를 1, 8, 23 개씩 나눈다.($s$, $e$, $f$)
2. $e$를 십진수로 바꾸고, 127을 빼서 지수를 구한다.
3. $f$ 뒤쪽의 0들을 지우고 $1.f \times 2^exp$ 형태로 정리한다.
4. 지수가 0이 되도록 소수점을 옮겨 원래 숫자를 얻는다.
5. 이진수를 십진수로 변환한다.
6. $s$가 1이면, 마이너스 부호를 붙여준다.

IEEE Special Cases

IEEE floating point는 몇가지 특별한 표현을 갖는다.

• $e = 0,\quad\quad f = 0$  숫자가 0.0이다.
• $e = 255,\quad f = 0$  $\infty$ 또는 $-\infty$ 
• $e = 255,\quad f \not= 0$  Not a number (NaN)
• $e = 0,\quad\quad f \not= 0$  $(-1)^s \times 0.f \times 2^{-126}$

Floating Point의 덧셈과 뺄셈

1. 2의 지수가 같도록 두 수를 정렬한다.
2. 덧셈/뺼셈 연산을 수행한다.
3. 다시 Scientific Notation으로 정리한다.

Floating Point의 곱셈

• $1.f$ 끼리는 곱한다.
• 지수는 서로 더한다.
• 정리한다.

Floating Point의 나눗셈

• $1.f$ 끼리는 나눈다.
• 지수는 뺀다.
• 정리한다.