3. 좋은 증명과 강한 수학적 귀납법 (Good Proof and Strong Induction)

좋은 수학적 증명은 다음 요소들을 갖는다.

1. 올바름^Correct
2. 완전성^Complete (과정을 생략하지 않음)
3. 명료성^Clear
4. 간결성^Brief
5. 아름다움^Elegant
6. 잘 정돈됨^{Well-organized}
   1. 보조 정리^Lemma 활용
   2. 순서에 맞는 변수 활용 ($a, b, \cdots$)

반면, 나쁜 수학적 증명은 다음 요소들을 포함한다.

1. 이미 알려진 공리나 이론을 불필요하게 많이 사용함 (피로한 증명)
2. 적절하지 않은 예시를 통한 증명 (편향된 예시, 극소수의 예시 등)
3. 강렬한 주장 등을 통한 증명 (= 우기기)
4. 생략을 포함한 증명
5. 사진을 이용한 증명
6. 직관을 통한 증명
7. 권위를 통한 증명
8. 성가신 노테이션
   1. 지저분하고 직관적이지 않은 변수 사용

수학 증명 용어들

• 정의 (Definition): 수학 기호와 용어의 뜻 등을 말 그대로 정의하는 것.
• 정리 (Theorem): 수학적으로 중요한 어떤 명제을 증명한 것
• 명제 (Proposition): 참이나 거짓이 분명한 문장. 증명해야할 것.
• 보조 정리 (Lemma): 어떤 정리나 명제를 증명하기 위해 보조적으로 사용되는 명제. 이 또한 증명해야 한다.
• 따름 정리, 추론 (Corollary): 이미 증명된 명제를 통해 바로 유도할 수 있는 명제.

강한 귀납법

수학적 귀납법으로 어떤 명제 $P$를 증명할 때, 바탕 명제와 귀납 명제를 증명하면 $P$를 증명할 수 있었다.

바탕 명제: $P(0)\text{ is True}$

귀납 명제: $\forall n \geq 0, P(n) \Rightarrow P(n+1) \text{ is True} $

강한 귀납법은, 위 귀납법에서 귀납 명제를 다음과 같이 바꾼 것이다.

강한 귀납 명제: $P(0) \wedge P(1) \wedge \cdots \wedge P(n) \Rightarrow P(n+1) \text{ is True}$ ($\wedge$는 AND)