2. 전체 확률의 법칙과 베이즈 정리 (law of total probability and Bayes' Law)
조건부 확률
한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률과 상관관계가 있는 경우 조건부 확률이라 한다.
조건부 확률의 표기는 아래와 같다.
P[A|B]=P[A∪B]P[B]
P[A|B]는 사건 B가 일어났을 때, 사건 A가 일어날 확률이다.
예시
전체 국민 중 군 복무자의 비율이 40%라 하자. 이 중, 남성이 80%라 할 때, 전체 남성 중 무작위로 선정한 한 사람이 군 복무자일 확률은? (전 국민의 성비는 5:5라 한다.)
P[군복무자|남성]=P[군복무자]∪P[남성]P[남성]=0.320.5=64%
조건부 확률의 공리
Axiom 1: P[A|B]≥0Axiom 2: P[B|B]=1Axiom 3: If A=A1∪A2∪... with Ai∩Aj=∅ for i≠j,thenP[A|B]=P[A1|B]+P[A2|B]+⋯
전체 확률의 법칙(전확률 정리)
전확률 정리는 조건부 확률로부터 조건이 붙지 않는 확률을 계산할 때 사용한다.
모든 i에 대해 P[Bi]>0이고 파티션인 {B1,B2,⋯,Bm}에 대해, 아래가 성립한다.
P[A]=m∑i=1P[A|Bi]P[Bi]
베이즈 정리
P[B|A]=P[A|B]P[B]P[A]
증명
P[AB]P[A]=P[AB]P[B]⋅P[B]P[A]
베이즈 정리는 조건부 확률 P[A|B]를 알고 있을 때, 관계가 정반대인 확률 P[B|A]를 계산하는데 사용한다.
예시 문제
한 가게에 들어온 손님이 상품을 구매하는 경우를 B, 구매하지 않는 경우를 N이라 하자. 손님이 가게에 3분 이상 머물 경우 그 손님은 L(Long)로 분류하고 3분 이하로 머물 경우 R(Rapid)로 분류한다.
P[B]=0.3,P[R]=0.4,P[B|R]=0.125
위 모델에서, P[R|B]를 구해보자.
P[R|B]=P[B|R]P[R]P[B]=0.125⋅0.4÷0.3=0.166
위와 같이 빠른 고객 중 구매자 정보를 기반으로 구매자 중 빠른 고객이 차지하는 비중을 알아낼 수 있다.
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