6. 독립 시행(Independent Trials)

독립 시행은 이름 그대로 여러번의 순차적인 실험에서, 각 실험의 결과가 이전/다음 실험의 결과와 상관관계를 갖지 않는 경우를 말한다.

예를들어, 우리가 로또를 1번 사든 100번 사든 각 회차의 당첨 확률은 변하지 않는다.

Success & Fail Model

성공 혹은 실패의 두 가지 결과를 갖는 실험을 $n$번 시행했을 때, 실험이 성공할 확률이 $n_1$, 실패할 확률이 $n_0 = (1-n_1)$이라 하자. 실험을 $n = (n_0 + n_1)$회 반복했을 때, $n_1$번 성공하고 $n_0$번 실패할 확률은 아래와 같다.

$$ P[S_{n0,n1}] = {n \choose n_1}(1-p)^{n-n1}p^{n1} = {n \choose n_0}(1-p)^{n0}p^{n-n0} $$

여기서 $p$는 한번의 독립시행이 성공할 확률이다. 식 앞의 combination은 순서를 상관하지 않는 모델에서 순서의 경우의 수를 나타내고, 식의 나머지 부분은 각각 성공을 $n_1$회, 실패를 $n_0$회 하는 확률을 나타낸다.

General Model

샘플 공간이 0과 1 이외의 다양한 값을 갖는 경우 아래와 같이 계산할 수 있다.

$$ P[S_{n0, \cdots , n_{m-1}}] = {n \choose n_0, \cdots , n_{m-1}}p_0^{n_0} \cdots p_{m-1}^{n_{m-1}}$$

Reference

[Probability] Independent Trials - Blastic