7. 이산 랜덤 변수과 확률 밀도 함수 (Discrete Random Variables and Probability Mass Function)

랜덤 변수란, 특정 샘플 공간 $S$가 갖는 결과 중 하나를 가질 수 있는 관측하지 않은 값을 변수화한 것이다. 보통 대문자를 사용하여 $X$와 같이 나타내고, 해당 랜덤 변수가 가질 수 있는 샘플 공간은 $S_X = \{0,1,2,\cdots \}$와 같이 나타낸다. $S_X$를 $\text{range of }X$라고도 나타내며, 랜덤 변수 $X$가 가질 수 있는 값을 소문자 $x$로 나타낸다.

랜덤 변수는 샘플 공간에서 각 결과가 발생할 확률과, 각 결과를 실수로 매핑하는 함수로 정의된다.

이때 이산 랜덤 변수란, 랜덤 변수의 샘플 공간에 있는 결과가 이산적인 랜덤 변수를 말한다.

예시

한 전자부품 공장에서 생산한 회로가 불량일 확률을 $P(r)$, 정상일 확률을 $P(a)$라 할 때, 공장에서 생산된 6개의 회로 중 정상품의 갯수를 랜덤 변수 $X$로 놓자. 회로의 샘플 공간은 $S = {rrrrrr, \cdots , aaaaaa}$이며, 랜덤 변수의 샘플 공간은 $S_X = {0, 1, \cdots , 6}$이다. 각 $S_X$의 결과가 갖는 확률은 $P(a)$와 $P(r)$에 따라 변화한다.

확률 밀도 함수^{Probability Mass Function:PMF}

확률 밀도 함수는 확률 밀집도 함수^{Probability Density Function:PDF}라고도 한다. 이는 랜덤 변수가 어느 정도의 밀도를 가지는지를 나타낸 함수이다. 이산 랜덤 변수 $X$에 대한 확률 밀도 함수는 아래와 같이 정의된다.

$$P_X(x) = P[X=x] $$

이는 즉, 랜덤 변수 $X$가 특정 값 $x$를 결과로 가질 확률에 대한 함수이다.
예를들어, 주사위를 던졌을 때 1~6 중 6이 나올 확률 $P_X(6)$은 $\frac{1}{6}$이다.

다양한 확률 밀도 함수

Geometric ($p$) Random Variable

사건이 발생할 확률이 $p$이고 처음으로 사건이 발생할 때까지의 회수가 $x$일 경우

$$\begin{align*}
P_X(x) = \begin{cases} p(1-p)^{x-1}  &x = 1,2,\cdots \\
0 &\text{otherwise}
\end{cases} \end{align*}$$

Binomial ($n, p$) Random Variable

$n$번의 독립시행에서 ($x$)회 성공하고 ($1-x$)회 실패하는 경우

$$ P_X(x) = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} $$

Pascal ($k, p$) Random Variable

$p$의 확률을 갖는 독립시행을 성공 회수가 $k$가 될 때까지 반복하는 경우

$$ P_X(x) = {x-1 \choose k-1}p^k(1-p)^{x-k} $$

Discrete Uniform ($k, l$) Random Variable

k부터 l까지의 결과 값이 모두 동일한 확률로 나타날 때, 각각의 확률.

$$ \begin{align*}P_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{(l-k+1)}  &n=k, k+1, \cdots , l\\0 &\text{otherwise}\end{cases} \end{align*} $$

Poisson ($\alpha$) Random Variable

푸아송 분포. 단위 시간 안에 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현. $\alpha$는 상수로, 보통 단위 시간안에 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값을 사용.

$$\begin{align*}
P_X(x) = \begin{cases} \frac{\alpha ^xe^{-\alpha}}{x!}  &x = 0,1,2\cdots ,\\
0 &\text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$$