18. 유도된 랜덤 변수의 확률 모델 (Probability Model of Derived Random Variables)

두 랜덤 변수로 유도된 랜덤 변수의 PMF

$W=g(X,Y)$와 같이 유도된 랜덤 변수 $W$의 PMF는 아래와 같다.

$$ P_W(w) = \sum_{(x,y):g(x,y)=w}P_{X,Y}(x,y) $$

연속 랜덤 변수로 유도된 변수의 CDF와 PDF

$W = aX$와 같이 유도된 랜덤 변수의 CDF와 PDF는 각각 아래와 같다.

$$ F_W(w) = F_X(w/a) $$

$$ f_W(w) = \frac{1}{a}f_X(w/a) $$

CDF의 미분이 PDF인 점을 활용하면 쉽게 구할 수 있다. 같은 원리로 $W=X+b$의 CDF와 PDF는 아래와 같다.

$$ F_W(w) = F_X(w-b) $$

$$ f_W(w) = f_X(w-b) $$

$W = aX$일 때, $X$가 uniform이나 gaussian이면 W는 $\text{uniform} (ab,ac)$, $\text{gaussian} (a\mu , a\sigma )$가 된다.

Exp나 Erlang에 대해서는 $\text{exponential}(\lambda / a)$, $\text{Erlang}(n, \lambda /a)$가 된다.

두 연속 랜덤 변수로 이루어진 연속 함수

연속 랜덤 변수 $X,Y$로 유도된 랜덤 변수 $W = g(X,Y)$의 CDF는 다음과 같다.

$$ F_W(w) = P[W\leq w] = \int\int_{g(x,y)\leq w} f_{X,Y}(x,y) dxdy $$

두 랜덤 변수의 합의 PDF

$W = X+Y$의 PDF는 다음과 같다.

$$f_W(w) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x, w-x) dx = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(w-y, y) dy $$

이때, 두 변수 X,Y가 독립이면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

$$f_W(w) = \int_{-\infty}^\infty f_X(w-y)f_Y(y) dy $$