19. 조건부 확률 (Conditional Probability Models)

특정 사건 B가 일어났을때 사건 X가 일어날 확률을 조건부 확률이라 한다.

조건부 확률의 CDF

$$ F_{X|B}(x) = P[X\leq x | B] $$

조건부 확률의 PMF

$$ P_{X|B}(x) = P[X=x|B] $$

$$ P_{X|B}(x) = \begin{align*} \begin{cases} \frac{P_X(x)}{P[B]} &x\in B \\
0 &\text{otherwise} \end{cases} \end{align*} $$

조건부 확률의 PDF

(CDF의 미분)
$$ f_{X|B}(x) = \frac{dF_{X|B}(x)}{dx} $$
$$ f_{X|B}(x) = \begin{align*} \begin{cases} \frac{f_X(x)}{P[B]} &x\in B \\
0 &\text{otherwise} \end{cases} \end{align*} $$

조건부 확률의 기댓값

$$ \text{Discrete: } E[X|B] = \sum_{x\in B} xP_{X|B}(x) \\
\text{Continuous: } E[X|B] = \int_{-\infty}^{\infty} xf_{X|B}(x) dx $$

유도된 확률 변수의 조건부 확률

$Y=g(X)$로 유도된 Y에 대한 조건부 확률의 기댓값은 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ E[Y|B] = E[g(X)|B]  = \sum_{x\in B} g(x)P_{X|B}(x) $$

조건부 확률의 분산과 표준 편차

$$ Var[X|B] = E[X^2|B]- \mu ^2_{X|B} $$

$$ std[X|B] = \sqrt{Var[X|B]} $$

다중 랜덤 변수의 조건부 확률

Conditional Joint PMF

$$P_{X,Y|B}(x,y) = P[X=x, Y=y|B] $$

$$P_{X,Y|B}(x,y) = \begin{align*} \begin{cases} \frac{P_{X,Y}(x,y)}{P[B]} &(x,y)\in B, \\
0 &\text{otherwise} \end{cases} \end{align*} $$

Conditional Joint PDF

$$f_{X,Y|B}(x,y) = \begin{align*} \begin{cases} \frac{f_{X,Y}(x,y)}{P[B]} &(x,y)\in B, \\
0 &\text{otherwise} \end{cases} \end{align*} $$

다중 랜덤 변수의 조건부 기댓값

$W = g(X,Y)$일때,

$$ \text{Discrete: } E[W|B]=\sum_{x\in S_X} \sum_{y\in S_Y} g(x,y)P_{X,Y|B}(x,y)\\
\text{Continuous: } E[W|B] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y)f_{X,Y|B}(x,y) dxdy $$

랜덤 변수로 정의된 조건

$Y=y$와 같이 사건이 랜덤 변수로 정의된 경우, $Y=y$에 대한 $X$의 조건부 PMF는 아래와 같다.

$$P_{X|Y}(x|y) = P[X=x|Y=y]. $$

$$P_{X|Y}(x,y) = \frac{P_{X,Y}(x,y)}{P_Y(y)} $$

연속 랜덤 변수의 PDF도 동일하다.

$$ f_{X|Y}(x,y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$$