16. 다중 랜덤 변수 (Multiple Random Variables)

지금까지는 랜덤 변수가 하나인 경우에 대하여 다루었다.
이제부터는 랜덤 변수가 2개 이상이 되어, 확률 공간이 실수축이 아닌 고차원 공간을 갖게 된다.

예를들어 $Y=X+Z$에서 $X$와 $Z$가 독립된 랜덤 변수일 때, $Y$는 두 변수의 영향을 받아 변화한다.

누적 분포 함수 (Joint CDF)

다중 랜덤 변수의 CDF는 Joint CDF라고도 불리며, 아래와 같이 나타낸다.

$$F_{X,Y}(x,y) = P[X\leq x, Y\leq y]$$

다중 랜덤 변수의 CDF는 아래와 같은 성질들을 갖는다.

$$\begin{align*} &1) 0\leq F_{X,Y}(x,y)\leq 1 \\ &2)F_{X,Y}(\infty , \infty) = 1\\ &3)F_X = F_{X,Y}(x,\infty) \\ &4)F_Y = F_{X,Y}(\infty , y)\\ &5)F_{X,Y}(x, -\infty ) = 0> \end{align*}$$

확률 질량 함수 (Joint PMF)

다중 랜덤 변수의 확률 질량 함수는 아래와 같이 표현한다..

$$P_{X,Y}(x,y) = P[X=x, Y=y]$$

$X, Y$ 평면 위의 집합 $B$의 확률은 다음과 같다.

$$P[B] = \sum_{(x,y)\in B} P_{X,Y}(x,y)$$

Marginal PMF

Joint PMF $P_{X,Y}(x,y)$로부터 산출된 $P_X(x)$와 $P_Y(y)$를 Marginal PMF라 한다.

$$P_X(x) = \sum_{y \in S_Y} P_{X,Y}(x,y)$$

확률 밀도 함수 (Joint PDF)

이산 확률 변수에 사용하는 PDF를 다중 랜덤 변수에선 Joint PDF라고도 부른다.

$$F_{X,Y}(x,y) = \int^x_{-\infty} \int^y_{-\infty} f_{X,Y}(u,v) dvdu$$

$$f_{X,Y}(x,y) = \frac{\partial ^2 F_{X,Y}(x,y)}{\partial x \partial y}$$

Marginal PDF

$$f_X(x) = \int ^\infty _{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dy$$