17. 독립 랜덤 변수와 두 변수의 관계 (Independent Random Variables, Correlation of Two Variables)
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다중 랜덤 변수에서, 각 변수가 서로의 독립일 때 독립 랜덤 변수라 한다.
독립 랜덤 변수는 아래 조건을 만족한다.
PX,Y(x,y)=PX(x)PY(y)
FX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)
즉, 다중 랜덤 변수의 PMF/PDF를 이용해 Marginal PMF/PDF를 구하여 해당 변수가 독립인지 아닌지를 알 수 있다.
랜덤 변수 함수의 기댓값
랜덤 변수로 구성된 함수 W=g(x,y)의 기댓값은 다음과 같다.
E[W]=∑x∈SX∑y∈Syg(x,y)PX,Y(x,y)
E[W]=∫∞−∞∫∞−∞g(x,y)fX,Y(x,y)dxdy
두 랜덤 변수의 합의 기댓값과 분산
W=X+Y에서 W의 기댓값과 분산은 다음과 같다.
E[X+Y]=E[X]+E[Y]
Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2E[(X−μX)(Y−μY)]
공분산 (Covariance)
X와 Y의 공분산은 다음과 같다.
Cov[X,Y]=E[(X−μX)(Y−μY)]
상관 계수 (Correlation Coefficient)
두 랜덤 변수 X와 Y의 상관 계수는 다음과 같다.
ρX,Y=Cov[X,Y]√Var[X]Var[Y]=Cov[X,Y]σXσY
상관 계수에 따라 두 변수간의 관계가 아래와 같이 나타난다.

직교 랜덤 변수 (Orthogonal Random Variables)
두 변수의 상관 계수가 0이 되면(E[X,Y]=E[X]E[Y]이면), 두 변수는 직교한다고 한다.
상관 관계가 없는 랜덤 변수 (Uncorrelated Random Variables)
X와 Y의 공분산이 0이면 두 랜덤 변수의 상관 관계가 없다는 뜻이다.
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