14. 가우시안 랜덤 변수 (Gaussian Random Variable)

가장 흔히 접할 수 있는 분포 중 하나로, 정규분포(Normal Random Variable)라고도 한다.

Gaussian ($\mu ,\sigma $)의 형태로 생겼는데, $\mu $는 기댓값, $\sigma $는 표준편차를 나타낸다.
가우시안 분포의 PDF는 아래와 같다.

$$ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma ^2} $$

출처: 위키백과

x가 $\mu $일 때 최댓값을 갖고 좌우가 대칭인 그래프를 그린다.
$\sigma $가 작을 수록 중앙에 몰려있는 경향이 있음을 의미한다.

가우시안 분포로 유도된 함수

X가 가우시안 ($\mu , \sigma $)일 때, $Y = aX+B$는 가우시안 ($a\mu + b, a\sigma $)이다.

표준 정규 분포 (Standard Normal Random Variable)

가우시안 (0, 1) 분포는 표준 정규 분포 혹은 Z 분포라고 부른다. 표준정규분포의 CDF는 아래와 같다.

$$ CDF(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{z} e^{-u^2 /2}du $$

가우시안 분포는 적분 불가능한 식이기 때문에, CDF는 미리 계산된 표를 참고하여 사용한다.

가우시안 $X(\mu , \sigma )$의 $CDF(z)$는 표준 정규 분포를 $-\infty$부터 $\frac{z-\mu }{\sigma }$까지의 적분한 것과 같다.

표준 정규 분포의 CDF(z)

Standard Normal Complementary CDF (Q-Function)

표준 정규 분포에서 $(z, \infty)$ 구간의 적분값이다. 아래와 같이 나타낸다.

$$ Q(z) = P[Z>z] = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{z}^{\infty } e^{-u^2 /2}du = 1 - CDF(z) $$