12. 연속 랜덤 변수 (Continuous Random Variables)

연속 랜덤 변수는 적절한 구간 내의 모든 값을 취하는 랜덤 변수이다.

예를들어, 이 블로그에 5월 20일에 방문한 사람의 수는 이산 랜덤 변수이지만, 이 블로그에서 사람들이 머무른 평균 시간은 연속 랜덤 변수이다.
사람 수는 셀 수 있지만, 시간은 정확히 잴 수 없는 연속된 값이기 때문이다.

누적 분포 함수 (Cumulative Distribution Function: CDF)

임의의 값 $x$까지 랜덤 변수 $X$가 갖는 값.

$$ F_X(x) = P[X \leq x] $$

연속 랜덤 변수의 CDF는 PDF를 적분하여 구할 수 있다.

$$ F_X(x) = \int_{-\infty }^{x} f_X(u)du $$

확률 밀도 함수 (Probability Density Function: PDF)

이산 랜덤 변수의 PMF와 같은 함수.

$$ f_X(x) = \frac{dF_X(x)}{dx} $$

연속 랜덤 변수의 확률

연속 랜덤 변수에서 한 값의 확률은 한 값을 정확히 측정하기 어렵기 때문에 별 의미가 없고, 특정 구간의 확률을 구하여 사용한다.
(컵에 담긴 물이 정확히 100ml일 확률은 0에 수렴하고, 99ml ~ 101ml 사이일 확률을 구한다.)

$$ P[x_1 < X \leq x_2] = \int_{x_1}^{x_2} f_X(x)dx $$

연속 랜덤 변수의 기댓값, 분산 (Expected Value, Variance)

연속 랜덤 변수의 기댓값은 아래와 같다.

$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x)dx $$

연속 랜덤 변수의 분산은 이산 랜덤 변수와 다르지 않다.

$$ E[(x-\mu x)^2] = E[x^2] - (E[x])^2 $$

연속 랜덤 변수의 성질

$$ E[X - \mu x] = 0 \\
E[aX+b] = aE[X] + b\\
Var[X] = E[X^2] - \mu ^2x \\
Var[aX+b] = a^2Var[X] $$