11. 랜덤 변수의 분산과 표준편차 (Variance and Standard Deviation of Random Variable)

유도된 랜덤 변수의 기댓값

지난 글에서 다뤘듯이 랜덤 변수 X로 유도된 랜덤 변수 Y의 기댓값은 아래와 같다.

$$ E[Y] = \sum_{x\in S_X} g(x)P_X(x) $$

각 원소에 대한 확률은 변하지 않기 때문에, 각 확률에 변화한 값인 $g(x)$만 곱해주면 기댓값이 된다.

분산^Variance

분산은 각각의 원소에서 평균을 뺀 값이다. 랜덤 변수 X의 분산은 다음과 같다.

$$\begin{align*}
\text{Var}[X] &= E[(X-\mu x)^2] \\
&= E[X^2] - (E[X])^2
\end{align*}$$

랜덤변수에 특정 상수를 곱하여 유도된 랜덤 변수의 분산은 아래와 같다.

$$ \text{Var}[aX + b] = a^2\text{Var}[X] $$

표준편차^{Standard Deviation}

표준편차는 값과 평균 사이의 거리를 양수로 나타내기 위해 분산에 루트를 취한 값이다.

$$ \sigma x = \sqrt{\text{Var}[X]} $$

모멘텀^Moments

$E[X^n]$을 X의 n번째 모멘텀이라 한다.

X에 대한 2번째 모멘텀을 알면, X의 분산을 구할 수 있다. (아래 식 이용)

$$ \text{Var}[X] = E[X^2] - E[X]^2 $$