10. 유도된 랜덤 변수 (Derived Random Variable)

지금까지 랜덤 변수의 함수들을 알아보았다.

• 랜덤 변수와 확률 밀도 함수 (PMF)
• 누적 분포 함수 (CDF)
• 랜덤의 기댓값

이번에는 $X$에 대한 함수 형태로 주어지는 랜덤 변수를 알아보자.

유도된 랜덤 변수^{Derived Random Variable}

유도된 랜덤 변수는 주어진 랜덤 변수 $X$에 대한 함수 $Y = g(X) $ 형태로 주어지는 랜덤 변수이다. 이때, 샘플 공간의 값만이 변화하며 각 사건에 대한 확률을 변화하지 않는다.

예를들어, 장을 보러 가서 살 게란의 갯수를 $X$라 놓고 계란의 가격을 $Y$라 놓으면, 계란 하나에 100원이라 하였을 때 아래가 성립한다.

$$ Y = 100X $$

이때, 샘플 공간만 계란의 갯수에서 가격으로 변화하고 각 확률(계란 3개를 살 확률, 계란을 300원 어치 살 확률)은 변화하지 않는다.

유도된 랜덤 변수의 기댓값

유도된 랜덤 변수 $Y$의 기댓값은 아래와 같다.

$$ E[Y] = \sum_{x\in S_X} yP_Y(y) $$

이때, $Y$가 $X$를 통해 유도된 함수이므로 아래도 성립한다.

$$ E[Y] = \sum_{x\in S_X} g(x)P_X(x) $$