15. 혼합 랜덤 변수와 델타 함수 (Mixed Random Variables and Delta Function)

혼합 랜덤 변수는 랜덤 변수에 이산적인 부분과 연속적인 부분이 혼합되어 있는 랜덤 변수를 의미한다. 이러한 랜덤 변수를 다루기 위해 델타 함수를 사용한다.

델타 함수는 Unit Impulse 함수라고도 하는데, 함수가 이루는 면적이 항상 1인 함수를 의미한다. (즉, 함수의 정의역이 0이면 y는 $\infty $이다.)

델타 함수

$$ d_\epsilon (x) = \begin{align*} \begin{cases} \frac{1}{\epsilon }  &-\frac{\epsilon }{2} \leq x \leq \frac{\epsilon }{2} \\
0 &\text{otherwise}
\end{cases} \end{align*}
$$

일때, 델타 함수는 아래와 같다.

$$ \delta (x) = \lim_{\epsilon \to 0}d_\epsilon (x). $$

델타 함수는 아래 성질을 갖는다.

$$ \int_{-\infty }^{\infty } g(x)\delta (x-x_0)dx = g(x_0) $$

Unit Step Function

Unit Step Function은 계단 함수라고도 하며, 아래와 같다.

$$ u(x) = \begin{align*} \begin{cases} 1  &x\geq 0\\0 &x<0 \end{cases} \end{align*}$$

계단 함수와 델타 함수는 아래 관계를 갖는다.

$$ \int_{-\infty }^{x}\delta (v)dv = u(x) $$

이산 랜덤 변수의 CDF, PDF

이산 랜덤 변수의 CDF와 PDF를 계단 함수와 델타 함수로 각각 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ F_X(x)=\sum_{x_i\in S_X} P_X(x_i)u(x-x_i)$$

$$ f_X(x)=\sum_{x_i\in S_X} P_X(x_i)\delta (x-x_i)$$

Mixed Random Variable

혼합 랜덤 변수는 한 랜덤 변수에 이산적인 부분과 연속적인 부분이 혼재된 경우로, 예를들어, 통화시간의 1/3은 전화가 연결되지 않아 0이고, 나머지 2/3는 0분 ~ 30분 과 같이 분포되는 경우이다.